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常见的等价无穷小证明

同一题中的无穷小替换的变量应该一致,“分子中的x替换成sinx ,分母中的sinx替换成x",这已经有两个变量替换了,违背了数学的原则问题..

直接使用泰勒公式展开,(1+x)^(1/n)=1+x/n+(1-n)/n^2*2!*x^2+.从第三项开始都是x的高阶无穷小量,故(1+x)^(1/n)~1+x/n也即(1+x)^(1/n)-1~x/n

洛氏法则是根据柯西中值定理来的,我不会编辑公式.补充定义FX,GX在X为0处为0,即符合柯西中值定理条件,X趋于0,ζ亦趋于0.即ζ趋于X.

熟记常用等价无穷小量及其和差. 一般情形,使用洛必达(L\\'Hospital)法则,或者Taylor公式. 举例:x→0时,sinx-x的等价无穷小量? 方法一:设x→0时,sinx-x~Ax^k.A,k待定.由洛必达法则, x→0时,lim(sinx-x)/Ax^k=lim(cosx-1)/Akx^(k-1

首先,先证明:当0<x<π/2时,有: sin x < x < tan x (不能用求导去证明,否则就变成循环论证 因为sin x的求导公式中运用到这一个极限) 在直角坐标系中作一单位圆(以原点O为圆心,1为半径的圆),交x正半轴于点A 作圆在A点上的切线AB

x->0时,"-"代表等价的意思:1)sinx - x - tanx - arcsinx - arctan x2)(1-cosx) - (x^2)/23)(e^x-1) - x - ln(1+x)4)[(1+x)^(1/n) -1] - x/n

当x→0时, sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2x^2 a^x-1~xlna e^x-1~x ln(1+x)~x (1+Bx)^a-1~aBx [(1+x)^1/n]-1~1/nx loga(1+x)~x/lna 值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错(也不是不能替换,但是有条件)

求极限就可以证明了取x趋近于0是两个式子的比值为1那么它们就是等价无穷小显然用洛必达准则可以证明..分子求导就是1/n[(1+x)^(1/n-1)]在x=0时=1/n分母求导就是1/n于是比值为1 它们为等价无穷小

所有等价无穷小基本都是因为泰勒公式!所以,你这个等价无穷小只是可以说一些特例,你要想知道为什么只要将左边式子关于零进行泰勒展开,那么第一项就是右边的式子.所以没必要去证明,只是一个泰勒展开而已

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