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收敛数列一定有界证明

设数列{a[n]}收敛于a,由定义知存在正整数M,使得当n>M时|a[n]-a|=1>0,n>0,1/n>0an>10,>10区域10,则是>10,n>=1,nmin=1,amax=10+1=11(10,11]值域为(10,11]是有界数列或者an=3,是常数列,liman=lim3=3是收敛数列,常数列的值域为{3}是有解得,所以符合这个公里.

目的是证明收敛数列的有界性. 数列{Xn}收敛到a(不是n=a,),根据极限定义对于任意E>0, 存在正整数N,当n>N,不等式/Xn-a/N时,所有的Xn都有上限,都要小于E+|a|.就是Xn无限接近a,在n>N之后,所有Xn都小于a加上个正数(E).到此证明了从N开始,数列都是有界的(都小于E+|a|).下面要证明n

1. 这个证明教材上有的,一般有两种证法,一是反证法,一是同一法,仅证后一种:已知 liman = a,若还有 liman = b.则对任意ε>0,存在 N∈Z,当 n>N 时,有 |an-a| < ε,|an-b| < ε,此时,|a-b| ≤ |an-a|+|an-b| < 2ε,由 ε>0 的任意性,得知 a=b.2. 设数列{a[n]}收敛于a,由定义知存在正整数M,使得当n>M时|a[n]-a|<1,或者说a-1<a[n]<a+1 于是min{a[1],a[2],,a[M],a-1}<=a[n]<=max{a[1],a[2],,a[M],a+1},即{a[n]}有界.

数列的有界性: 定义:对数列xn,若存在正数m,使得一切自然数n,恒有lxnl≤m成立,则称数列xn有限,否则,称为无限. 例如,数列xn=n/(n+1) 有界;数列xn=2^n无界. 数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间【-m,m】上. 收敛的数列比必有界. 证:设数列xn的极限为a,有定义,取ε=1, 则对任意的n,使得当n>n时恒有lxn-al<1, 即有a-1<xn<a+1. 记m=max{lx1l,…,lxnl,la-1l,la+1l},则对一切自然数皆有lxnl≤m,故{xn}有界. 注意:有界性是数列收敛的必要条件.

因为是数列,n取的是正整数,所以n最小只能取1,所以Y数列是有界的Y范围是(0,1],但如果是函数就是无界的.

如果你取一个数列an = 1/n,它显然收敛,而且最大值在n = 1的地方.可以补充这么一个看起来很怪异,但是细细一想又很显然的引理:对于给定的数列,假若任给一个实数p,总存在一个正整数N,使得|aN| > p,那么进一步地,对于任意给定

收敛的数列{xn},在n→∞时,xn→A,这个A是一个固定的极限值,是一个常数,所以必然有界.但这个有界不是说上下界都有,只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界.有界的数列不一定收敛,最简单的例子xn=sin(n),或者xn=(-1)^n,它们都是有界数列,但n→∞时,xn的极限不存在,所以不收敛.

本质就是 收敛数列一定有界,(反证,假设无界,肯定不收敛) 有界数列不一定收敛,(反例,数列{(-1)^n}是有界的,但它却是发散的.)额 ,没看清楚你写的是收敛函数,我的回答只是针对数列本质的不同数列的收敛是指当n趋于无穷时数列项趋于一个数,而数列的前面的有限项是一个确定的数,显然有界,当n趋于无穷时数列收敛,说明后面的任意项都是一个有限的数.而函数收不收敛是指 当x趋于x0时,函数的敛散情况,当x趋于x0收敛,函数在x0处肯定是有界的,但并不代表x趋于x1就一定收敛,是否有界也不得而知.

因为数列收敛,设,由定义,对于,存在正整数, n>N时,都有 (n>N),从而有 . 取,则对一切的n,都有,所以数列有界. 根据定理2,如果数列无界,则数列一定是发散的.但必须注意:有界数列不一定收敛.例如,数列是有界的.因为,但它却是发散的(见例4).可见,数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.

形象一点理解就是:数列在n之后,全部都落在了【a-1,a+1】里面,所以后面的无穷多个是有界的,又因为落在区间【a-1,a+1】外面的只有有限多个,所以这有限多个肯定有最大值,我们不妨设为m,于是我们再比较m和【a-1,a+1】的大小,取较大的一个不妨设为l为上限,于是就有|xn|《l,这就证明了收敛数列有界

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