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行列式有非零解的条件

注:是系数行列式等于零.因为齐次线性方程一定存在零解(齐次线性方程组为AX=0,其中A为矩阵)而系数行列式不等于零那么线性方程必然只有1个解组(0).所以对于齐次方程来说有非0解则系数行列式一定要等于零.

齐次方程可以写为:Ax=O,其中A为n阶方阵,各元素对应方程系数,x为n维列向量,表示待解量,O亦为n维列向量,各元素均为0.显然x=O恒为方程的解.注意当|A|=0时,A的各行列必然线性相关,也即A的秩必然小于n,所以齐次方程必然有无穷多组解,那么除了x=O这个零解以外,方程必然有其它非零解.反之,若|A|≠0,那么方程有且仅有一组解,而这解只能是x=O.

有非零解 ,也就是R(A)小于N. 1. 那么方程的个数要小于未知数的个数(直观上看这个方程组是扁而长,) 2.等价于A的列向量线性相关 (对系数矩阵A做列分块可得向量形

设系数矩阵A是m行n列1. r(A) 2. A的列向量组线性相关3. 若m=n, 则 |A| = 0

必要性:假设|A|不为0,则n阶矩阵A可逆,AX=0两边同时左乘A逆得X=0,即说明X只有0解,与条件矛盾,故|A|=0充分性:将A写成列向量的形式,A=[a1,a2,.an],其中ai为A的第i列, 同时X也写成向量形式,X=[x1,x2,x

学了矩阵没(线性代数)由方程组可知3*3的行列式 | a 1 1 | | 1 a 1 | | 2 -1 1 | 要使齐次线性方程组有非零解则这个行列式的值必为零(线性代数中的定理) 通过解这个行列式(这里不方便写出过程,具体解法参看相关书籍)可得a*(a-1) l令其为0,可知当a=1或0时齐次线性方程组有非零解

理解后这个性质其实不用证明的.齐次方程组是线性方程组的特殊形式,故关于线性方程组的性质齐次方程组也适用.n个方程n个未知量的线性方程组有唯一解的充要条件是其系数行列式不等于0,这是线性代数中最重要的结论之一,证明教材上都有.注意当线性方程组的系数行列式等于0时,该线性方程组可能无解也可能有无数解,而由于齐次方程组必有零解,故系数行列式等于0时齐次方程组不可能无解,所以有无数组解,也就是有非零解.如果齐次方程组的系数行列式不等于0,那么它有唯一解,又因其必有零解,故这时齐次方程组只有零解.

这是个其次线性方程组

齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于未知量的个数.本题,系数矩阵B是3*5矩阵,B的秩小于等于3,所以小于未知量个数5,所以Bx=0有非零解.

n阶方阵A可逆<=> |A|≠0<=> r(A) = n<=> A的列(行)向量组线性无关<=> 齐次线性方程组AX=0 仅有零解<=> 非 齐次线性方程组AX=b 有唯一解<=> 任一n维向量可由A的列或行向量组线性表示<=> A的特征值都不为0

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