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证明根3是无理数

证明根号3是无理数,使用反证法 如果√3是有理数,必有√3=p/q(p、q为互质的正整数) 两边平方:3=p^2/q^2 p^2=3q^2 显然p为3的倍数,设p=3k(k为正整数) 有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2 于是q于是3的倍数,与p、q互质矛盾 ∴假设不成立,√3是无理数

用反证法 假设根号3是有理数,则必然能写成最简分数n/m,n与m为互质整数.令 根号3=x x的平方=3=n的平方/m的平方3为正整数,同时也是有理数,n的平方与m的平方互质(由n与m为互质整数得出)即不存在公约数,则m的平方必为1(不然无法等于一个整数3) 3=n的平方=x的平方 推出根号3=x=n, 由于n为整数,则根号3也为整数,显然是不对的,所以 根号3为无理数

反证:假设√3是有理数,不妨设:√3=p/q 其中(p,q)=1则有,p^2=3q^2因为(p,q)=1,所以(p^2,q^2)=1故可得:3|p^2得:3|p^2故可设p=3k由√3=p/q得:√3=3k/q (k,q)=1得:q=3k^2由上,同样可证:3|q^2因此,3是p^2与q^2的公约数这与(p,q)=1矛盾.综上所述,√3为无理数.

方法一:假设根号3=p/q(p、q为互质整数),则p^2=3q^2 所以3整除p^2,因3是质数,所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q 因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾,所以根号3是无理数 方法二:设x=根号3,则有方程x^2=3 假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数),根据牛顿有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,从而x=1或3,显然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.方法三:设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1 根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数,矛盾

刚做过这种题目……我想想哈.无理数是不能够被写成两个整数比的设根号3=a/b(a和b是互质的整数,公约数只有1)则3=a/b∴a=3b可以得出a是3的倍数 ,设a=3n∴(3n)=3b这就跟a/b中a和b是互质的两个整数相悖逆,因为a和b有公约数3,也就是用反证法的方式证明根号3是无理数全部手打TAT

设根号3不是无理数,设根号三=p/q(有理数可写成分数形式,pq是互质的两正整数)两边平方p^2=3q^2 p是3的倍数设p=3m(m为正整数)9m^2=3q^2q^2=3m^2q也是3的倍数与pq互质相矛盾.所以根号3不是有理数.

方法一:假设根号3=p/q(p、q为互质整数),则p^2=3q^2所以3整除p^2,因3是质数,所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾,所以根号3是无理数方法二:设x=根号3,则有方程x^2=3假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数),根据牛顿有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,从而x=1或3,显然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.方法三:设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√3p)s+(√3q)t=3qs+pt为整数,矛盾

^用反证法.假设√3是有理数,则任复何一个有理数都可以表示为既约分数m/n(即:m、n为整数,且互质)因此√3=m/n,得制3=m^2/n^2,即m^2=3*n^2,因此m^2含有3的因数,因此m含有3的因数假设2113m=3p,则:(3p)^52612=3*n^2,得n^2=3p^2,因此n^2含有3的因数,因此n含有3的因数所以,m、n均含有3的因素,与m、n互为质数矛盾,4102因此√3是无理数这是一个1653通用的证法,可以证明√2、√5、√6等等是无理数.

证明,设根号3为有理数,则存在正整数p和q(p,q互质),,使得根号3=p/q两边平方,3=P^2/q^2 p^2=3q^2, 则P一定是3的倍数,q也一定是3的倍数与p、q互质矛盾. 故有反证法的原理,知根号3为无理数

关注非完全平方数p 设整数 p 可分解为p1*p2**pz(pi为素数) 假设 根号p 为有理数,可表示为n /m (n, m 互素) 有 n^2= p* m^2 p为非完全平方数,p的素因数至少有一个出现次数为单数, 设最小的这个数为 t ==> n^2| t ==> n| t 则 m^2| t, m| t 然而n| t 同假设n,m互素矛盾 即证 注:a|b 表示a 可以被b 整除 反证:假设根号3是有理数,则存在两个互质整数m和n使得根号3=m/n.两边平方并整理得m=3n, 于是m是3的倍数,令m=3q, 代入上式整理得:n=3q, 故n也是3的倍数,这与m,n互质矛盾.故根号3是无理数.证毕.

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